Sedangkanordo dari hasil perkalian matriks tersebut adalah banyaknya baris matriks A dikali dengan banyaknya kolom matriks B. Baca juga: Cara Menentukan Invers Matriks 2x2 dan 3x3. Diketahui bahwa matriks pertama berordo 3x2, dan matriks kedua berordo 2x1. Hasil perkalian matriks tersebut akan menghasilkan matriks dengan ordo 3x1.
Jakarta - detikers yang kelas 12 pasti sudah tidak asing lagi dengan invers matriks, bukan? Atau justru pusing mikirin metode matematika yang satu ini? Tenang, detikers nggak usah pusing, kita bakal bahas tentang invers matriks dan istilah-istilahnya secara lebih Invers MatriksInvers matriks merupakan salah satu metode yang bisa detikers pakai untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel. Cara penyelesaian dengan metode ini adalah menggunakan tabel yang terdiri dari variabel tersebut, sehingga penghitungannya pun lebih mudah. Banyaknya variabel dalam matriks turut mempengaruhi jenis matriks itu sendiri. Dilansir dari Quipper, sebuah matriks juga memiliki sebuah ordo m x n, detikers. Metode penyelesaian dengan invers matriks melahirkan beberapa istilah penting. Seperti matriks persegi, matriks nol, matriks diagonal, dan masih banyak dalam Invers Matriks yang Harus detikers KetahuiBiar nggak bingung waktu ngerjain soal dengan metode matriks, kenalan dulu, yuk, sama beberapa istilah berikut Persegidetikers tahu nggak kenapa sebuah matriks bisa disebut matriks persegi? Betul banget, matriks persegi ini punya jumlah elemen yang sama pada baris dan kolomnya. Bentuknya pun juga menyerupai bujur sangkar dengan diagonal utama dan diagonal Baris Sesuai dengan namanya, matriks baris hanya terdiri dari satu baris saja. Ordo dari matriks jenis ini adalah A1xn. Contoh dari matriks baris adalah A = [3 -1 5 0] dan B = [2 0].Matriks Nol Jika matriks baris hanya terdiri dari satu baris, maka seluruh elemen pada matriks nol adalah bilangan nol. Sebab itu, notasi dari matriks nol adalah Kolom Istilah ini kebalikan dari matriks baris. Karena matriks kolom hanya punya 1 kolom saja, detikers. Ordo dari matriks kolom adalah m x IdentitasMatriks identitas atau matriks satuan punya diagonal yang sama. Yakni bernilai satu. Simbol dari matriks jenis ini adalah miring .Transpos MatriksIstilah ini merujuk pada matriks baru yang didapat dengan menukarkan letak baris dan kolom pada matriks sebelumnya. Simbol dari transpos matriks adalah aksen atau T pada bagian atas matriks Skalar Elemen diagonal dari matriks skalar ini punya nilai yang sama, detikers. Makanya a11 = a22 = ......... = amn = k. Nilai k dari matriks skalar ini bernilai MatriksTerakhir ada invers matriks yang merupakan sebuah kebalikan dari kedua matriks. Jika matriks dikalikan, maka hasilnya adalah matriks persegi. Cara membedakan invers matriks dengan jenis lainnya cukup mudah. Karena simbol dari invers matriks ini adalah pangkat -1 di atas hurufnya, matriks A adalah invers dari matriks B. Maka penulisannya adalah A = B-1. Atau matriks B adalah invers matriks A. Maka penulisannya jadi B = A-1. Untuk mendapatkan invers matriks berordo 2, ada tiga cara yang bisa detikers pakai. Pertama, tukar elemen-elemen pada diagonal utama. Kedua, berikan tanda negatif pada elemen-elemen lainnya. Dan terakhir, bagilah setiap elemen dengan detikers, sudah punya gambaran tentang materi invers matriks dalam Matematika? Sebenernya invers matriks bukan soal rumit kalau detikers tahu rumus dan istilah-istilahnya. Sebab itu, biar nggak bingung lagi, pahami rumusnya dan asah kemampuan dengan mengerjakan soal-soal latihan. Simak Video "Ini Nono, Siswa SD NTT yang Menang Lomba Matematika Tingkat Dunia" [GambasVideo 20detik] erd/erd
Melihathubungan di antara kebebasan baris dan determinan yang tidak nol, kita dapat mendefinisikan kembali rank dari matriks m × n sebagai tingkat maksimum dari determinan tidak nol yang dapat dibentuk dari baris-baris dan kolom-kolom matriks tersebut. Rank dari matriks manapun adalah bilangan tunggal (Chiang, 2005: 92). Jelas, rank paling
Jakarta - Mendengar istilah invers matriks, kamu mungkin akan mengaitkannya dengan materi fungsi invers. Namun, kedua hal ini berbeda, adalah kebalikan atau lawan dari sesuatu, fungsi invers merupakan suatu fungsi matematika yang berkebalikan dengan fungsi asalnya. Lantas, apa itu invers matriks?Dalam modul Matematika Umum Kelas XI yang disusun oleh Yusdi Irfan 2020, invers matriks adalah matriks baru yang merupakan kebalikan dari matriks asal. Matriks adalah susunan dengan bentuk persegi panjang atau persegi yang tersusun dari angka dan diatur dalam baris maupun diingat, baris merupakan susunan horizontal, sedangkan kolom susunan vertikal. Jika digambarkan dalam model matematika, berikut matriks A adalah suatu matriks baru yang berkebalikan dengan matriks A dengan notasi A-1. Jika matriks tersebut dikalikan dengan invers matriksnya, maka akan terbentuk matriks penggunaan matriks ini untuk memecahkan sistem persamaan linier SPL. Untuk menyelesaikan invers matriks, terdapat beberapa aturan berdasarkan ordo matriks yaitu 2 x 2 dan 3 x 3. Berikut rumus invers matriksRumus invers matriks Foto detikEduInvers matriks 2 x 2 bisa diperoleh langsung caranya dengan menukar elemen pada diagonal utama, berikan tanda negatif pada elemen lain, kemudian bagi setiap elemen matriks dengan invers matriks ordo 3x3 diperoleh dengan dua cara yaitu adjoin dan transformasi baris elementer. Rumus pada gambar diatas merupakan rumus invers matriks 3x3 dengan cara juga dapat mencari invers pada matriks dengan menentukan determinannya terlebih dahulu. Determinan adalah nilai yang dihitung dari unsur-unsur suatu matriks invers matriksMisal matriks A berordo n x n dengan n ∈ N, dan determinan A tidak sama dengan nol, jika A-1 adalah invers dari A maka A-1-1 = AMisal matriks A dan B berordo n x n dengan n ∈ N dan determinan A dan B tidak sama dengan nol, jika A -1 dan B-1 adalah invers dari matriks A dan B maka AB-1= B-1 A-1Contoh Soal Invers MatriksSoal invers matriks 2x2 Foto detikEduDemikian pembahasan terkait invers matriks beserta rumus dan contoh soalnya. Bagaimana detikers, mudah bukan? Simak Video "Ini Nono, Siswa SD NTT yang Menang Lomba Matematika Tingkat Dunia" [GambasVideo 20detik] pal/pal
DEFINISI24.1 Jika matriks persegi A, maka minor anggota a ij dinyatakan dengan M ij dan didefinisikan sebagai determinan dari sub-matriks dari matriks awal dengan menghilangkan baris ke−i dan kolom ke−j, sedangkan kofaktor anggota aij ditulis C ij = (−1) i+j M ij. CONTOH 2.4.1 Pandang matriks persegi Minor anggota a 11 adalah M 11. 2.4.
Kelas 11 SMAMatriksInvers Matriks ordo 2x2Invers Matriks ordo 2x2MatriksALJABARMatematikaRekomendasi video solusi lainnya0319Diketahui matriks P=2 5 1 3 dan Q=5 4 1 1. Jika P^-1...0322Invers matriks A = [1 2 3 4] adalah A^-1= ....0245Diketahui matriks A=7 2 3 1 dan B=1 -2 -3 7. Tunjukka...0213Diketahui matriks A = 3 0 2 0; B = 2 1 3 2; dan...Teks videoHalo Google Friends untuk menentukan invers dari matriks berordo 2 * 2 seperti pada soal terdapat cara yang dapat kita lakukan yaitu misal kita memiliki matriks P dengan elemen a b c dan d. Kemudian kita ingin menentukan invers dari matriks p maka rumusan yang akan kita pakai adalah 1 per determinan dari matriks P dikalikan dengan acuin dari matriks P dimana untuk menentukan determinan dari matriks P caranya adalah dengan a dikali B dikurangi B dikali c. Jadi elemen dari matriks P dikali silang a dikalikan dengan 2 kemudian dikurangi dengan b dikali dengan C selanjutnya akan ditentukan adjoin dari matriks P untuk menentukan adjoin dari matriks P caranya adalah kita tukarkan posisi dari elemen dengan elemen di Kemudian untuk elemen B dan elemen C keduanya dikalikan dengan min 1 sehingga Acuan dari matriks P elemennya adalah D min bmin c dan a kemudian terdapat syarat yang harus dipenuhi yaitu determinan dari matriks P tidak boleh sama dengan nol agar invers dari matriks P terdefinisi selanjutnya kita akan menyelesaikan soal pada soal terdapat matriks m yang elemennya adalah 352 dan 4 maka untuk menentukan invers dari matriks m pertama-tama Kita tentukan determinan dari matriks untuk menentukan determinan dari matriks M maka kita akan mengalikan silang elemen dari matriks M 3 dikalikan dengan 4 kemudian dikurangi dengan 5 dikali dengan 2 kemudian kita per 3 dikali 4 = 12 kemudian dikurangi dengan 5 dikali dua yaitu 1012 dikurangi 10 = 2 jika determinan dari matriks m adalah selanjutnya akan kita tentukan a join dari matriks m untuk menentukan adjoin dari matriks m caranya adalah kita tukarkan posisi dari elemen 3 dengan elemen 4Untuk elemen 5 dan elemen 2 keduanya kita kalikan dengan min 1 sehingga Acuan dari matriks m elemen adalah 4 Min 5 min 2 dan 3. Sekarang kita bisa menentukan invers dari matriks m kita masukkan ke dalam rumus 1 per determinan dari matriks m yaitu 2 kemudian dikalikan dengan Acuan dari matriks m yang elemennya adalah Min 5 min 2 dan 3 Artinya kita akan mengalirkan 1 per 2 dengan setiap elemen dari admin matriks m sehingga diperoleh elemen yang pertama 4 per 2 kemudian elemen yang kedua Min 5 per 2 elemen yang ketiga min 2 per 2 dan elemen yang ke-4 3/2 kemudian kita Sederhanakan lagi sehingga didapatkan invers dari matriks m elemen nya adalah 2 min 5 per 2 min 1 dan 3 atau 2 pada soal tidak tersedia jawaban yang sesuai sehingga demikian jumpa di soal berikutnyaSukses nggak pernah instan. Latihan topik lain, yuk!12 SMAPeluang WajibKekongruenan dan KesebangunanStatistika InferensiaDimensi TigaStatistika WajibLimit Fungsi TrigonometriTurunan Fungsi Trigonometri11 SMABarisanLimit FungsiTurunanIntegralPersamaan Lingkaran dan Irisan Dua LingkaranIntegral TentuIntegral ParsialInduksi MatematikaProgram LinearMatriksTransformasiFungsi TrigonometriPersamaan TrigonometriIrisan KerucutPolinomial10 SMAFungsiTrigonometriSkalar dan vektor serta operasi aljabar vektorLogika MatematikaPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel WajibPertidaksamaan Rasional Dan Irasional Satu VariabelSistem Persamaan Linear Tiga VariabelSistem Pertidaksamaan Dua VariabelSistem Persamaan Linier Dua VariabelSistem Pertidaksamaan Linier Dua VariabelGrafik, Persamaan, Dan Pertidaksamaan Eksponen Dan Logaritma9 SMPTransformasi GeometriKesebangunan dan KongruensiBangun Ruang Sisi LengkungBilangan Berpangkat Dan Bentuk AkarPersamaan KuadratFungsi Kuadrat8 SMPTeorema PhytagorasLingkaranGaris Singgung LingkaranBangun Ruang Sisi DatarPeluangPola Bilangan Dan Barisan BilanganKoordinat CartesiusRelasi Dan FungsiPersamaan Garis LurusSistem Persamaan Linear Dua Variabel Spldv7 SMPPerbandinganAritmetika Sosial Aplikasi AljabarSudut dan Garis SejajarSegi EmpatSegitigaStatistikaBilangan Bulat Dan PecahanHimpunanOperasi Dan Faktorisasi Bentuk AljabarPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel6 SDBangun RuangStatistika 6Sistem KoordinatBilangan BulatLingkaran5 SDBangun RuangPengumpulan dan Penyajian DataOperasi Bilangan PecahanKecepatan Dan DebitSkalaPerpangkatan Dan Akar4 SDAproksimasi / PembulatanBangun DatarStatistikaPengukuran SudutBilangan RomawiPecahanKPK Dan FPB12 SMATeori Relativitas KhususKonsep dan Fenomena KuantumTeknologi DigitalInti AtomSumber-Sumber EnergiRangkaian Arus SearahListrik Statis ElektrostatikaMedan MagnetInduksi ElektromagnetikRangkaian Arus Bolak BalikRadiasi Elektromagnetik11 SMAHukum TermodinamikaCiri-Ciri Gelombang MekanikGelombang Berjalan dan Gelombang StasionerGelombang BunyiGelombang CahayaAlat-Alat OptikGejala Pemanasan GlobalAlternatif SolusiKeseimbangan Dan Dinamika RotasiElastisitas Dan Hukum HookeFluida StatikFluida DinamikSuhu, Kalor Dan Perpindahan KalorTeori Kinetik Gas10 SMAHukum NewtonHukum Newton Tentang GravitasiUsaha Kerja Dan EnergiMomentum dan ImpulsGetaran HarmonisHakikat Fisika Dan Prosedur IlmiahPengukuranVektorGerak LurusGerak ParabolaGerak Melingkar9 SMPKelistrikan, Kemagnetan dan Pemanfaatannya dalam Produk TeknologiProduk TeknologiSifat BahanKelistrikan Dan Teknologi Listrik Di Lingkungan8 SMPTekananCahayaGetaran dan GelombangGerak Dan GayaPesawat Sederhana7 SMPTata SuryaObjek Ilmu Pengetahuan Alam Dan PengamatannyaZat Dan KarakteristiknyaSuhu Dan KalorEnergiFisika Geografi12 SMAStruktur, Tata Nama, Sifat, Isomer, Identifikasi, dan Kegunaan SenyawaBenzena dan TurunannyaStruktur, Tata Nama, Sifat, Penggunaan, dan Penggolongan MakromolekulSifat Koligatif LarutanReaksi Redoks Dan Sel ElektrokimiaKimia Unsur11 SMAAsam dan BasaKesetimbangan Ion dan pH Larutan GaramLarutan PenyanggaTitrasiKesetimbangan Larutan KspSistem KoloidKimia TerapanSenyawa HidrokarbonMinyak BumiTermokimiaLaju ReaksiKesetimbangan Kimia Dan Pergeseran Kesetimbangan10 SMALarutan Elektrolit dan Larutan Non-ElektrolitReaksi Reduksi dan Oksidasi serta Tata Nama SenyawaHukum-Hukum Dasar Kimia dan StoikiometriMetode Ilmiah, Hakikat Ilmu Kimia, Keselamatan dan Keamanan Kimia di Laboratorium, serta Peran Kimia dalam KehidupanStruktur Atom Dan Tabel PeriodikIkatan Kimia, Bentuk Molekul, Dan Interaksi Antarmolekul
BlogKoma - Pada artikel sebelumnya kita telah mempelajari tentang pengenalan matriks dan operasi hitung pada matriks.Kali ini kita akan membahas tentang determinan dan invers suatu matriks. Determinan matriks merepresentasikan suatu bilangan tunggal. Determinan diperoleh dengan mengalikan dan menjumlahkan elemen-elemen matriks dengan cara yang khusus.
Matriks merupakan suatu susunan bilangan dimana tersusun dalam kolom dan baris. Dalam kajian ilmu matematika, rumus mengenai matriks tidaklah sedikit. Sebut saja penjumlahan matriks, pengurangan matriks, perkalian matriks, invers matriks, dan masih banyak lainnya. Secara konsep, invers suatu matriks atau yang juga dikenal dengan sebutan invers perkalian hampir sama dengan kebalikan bilangan. Suatu matriks bisa dibalik jika matriks itu ialah matriks persegi. Tipe matriks yang satu ini merupakan matriks yang berukuran n x n. Selain matriks persegi, tipe matriks yang bisa dibalik lainnya ialah matriks non-singular. Tipe matriks non-singular ini berupa determinan \neq 0. Perlu untuk anda ketahui, tidak semua matriks mempunyai invers. Invers matriks bisa didefinisikan dimana jika A merupakan suatu matriks kuadrat, maka anda bisa mencari matriks B dengan AB = BA = I. A dikatakan bisa dibalik invertible dan B disebut dengan invers dari A. Setelah anda mengetahui pengertiannya, maka selanjutnya anda harus mengerti bagaimana cara memecahkan soal terkait invers matriks. Trik Jitu Mencari Invers Matriks Sebenarnya ada banyak cara yang bisa anda lakukan untuk memecahkan soal mengenai invers matriks. Untuk lebih jelasnya, anda simak saja beberapa trik jitu mencari invers matriks berikut ini. Mencari Invers dari Matriks 2×2 Bagi anda yang ingin mencari invers dari matriks 2×2, pastikan dulu bahwa matriks anda ialah matriks persegi. Setelah itu, periksa jika matriks anda ialah 2×2. Kemudian ketahui rumus anda dan hitung kofaktornya. Biarkan tiap bagian dari matriks menjadi unsur matriks pada baris ke-m serta kolom ke-n. Kofaktor tiap bagiannya bisa menjadi -1m+n det sisa. Dimana det sisa adalah determinan dari matriks yang dibentuk dengan cara menghilangkan baris ke-m serta kolom ke-n, tempat unsur tiap bagiannya. Langkah selanjutnya, anda perlu mencari determinan matriks. Determinan merupakan bilangan tertentu yang bisa dihitung dari matriks persegi apapun. Pada umumnya, determinan dinotasikan dengan garis vertikal. Hal ini sama seperti nilai mutlak. Anda bisa jumlahkan semua kofaktor dari semua unsur yang ada pada baris pertama dalam matriks. Kemudian periksa jika determinannya memiliki nilai 0. Apabila determinannya bernilai 0, maka tak ada invers matriknya. Sebenarnya invers dari matriks 2×2 sangat sederhana. Anda hanya perlu menukar posisi a dan d, letakkan tanda negatif di bagian depan b dan c, serta membagi semua unsur dengan determinannya. Mencari Invers dari Matriks Persegi yang Lebih Besar dari 2×2 Sebenarnya cara mencari invers dari matriks persegi yang lebih besar dari 2×2 hampir sama dengan cara di atas, hanya saja jalannya lebih rumit. Pertama, anda harus memastikan bahwa matriks anda ialah matriks persegi. Setelah itu, periksa apabila matriks anda ialah 2×2. Selanjutnya, anda hitung semua kofaktor dari matriks persegi anda dan cari determinan matriks. Jika sudah, anda bisa periksa determinannya bernilai 0. Kemudian susun matriks kofaktornya dan cari transpose dari baris dan kolom anda. Setelah itu, bagi transpose matriks dengan determinannya. Perlu diketahui, matriks identitas n x n adalah matriks yang mempunyai unsur-unsur sama dengan nilai 0. Hal ini terkecuali unsur diagonal yang sama dengan nilai 1. Perlu diingat bahwa invers matriks 2×2 biasa hanya dapat dihitung apabila ab – cd tak sama dengan 0. Keabsahan invers matriks bisa diperiksa dengan hubungan antara matriks dan inversnya AxA-1. Dimana 1 adalah matriks identitas.
Transposedari matriks A berordo m × n adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menukar elemen baris menjadi elemen kolom dan sebaliknya, sehingga berordo n × m. A -1 | = , untuk A -1 adalah invers dari matriks A. (Materi invers akan kalian pelajari pada subbab berikutnya). 7. |kA| = kn |A|, untuk A ordo n × n dan k suatu
7 tahun lalu Real Time3menit Definisi dari matriks invers Suatu matriks segi A dikatakan matriks taksingular atau mempunyai invers, jika ada suatu matriks B sedemikian sehingga AB = BA = I. Matriks B dinamakan invers dari matriks A, ditulis B = $mathbf{A}^{-1}$. Sehingga dari definisi diatas, tersirat bahwa $mathbf{A}mathbf{A}^{-1}=mathbf{A}^{-1}mathbf{A}=mathbf{I}$ dengan I adalah matriks identitas. Sifat-Sifat dari Matriks Invers 1. Invers suatu matriks taksingular adalah tunggal 2. Jika matriks A dan B taksingular, maka a. $mathbf{A}^{-1}^{-1}=mathbf{A}$ b. $mathbf{AB}^{-1}=mathbf{B}^{-1}mathbf{A}^{-1}$ c. $mathbf{A}^{T}^{-1}=mathbf{A}^{-1}^{T}$ Menentukan Invers Matriks dengan Metode Matriks Adjoin Teorema berikut ini merupakan salah satu cara untuk menentukan invers suatu matriks. Teorema [Untuk Menentukan Invers Matriks dengan Matriks Adjoin] Jika determinan matriks $mathbf{A}=a_{ij}_{nxn}$ tidak nol, dan matriks $mathbf{C}=a_{ij}_{nxn}$ dengan $a_{ij}$ kofaktor elemen $a_{ij}$, maka invers matriks A adalah $mathbf{A}^{-1}= mathbf{C}^{T}/detmathbf{A}$ Matriks $mathbf{C}^{T}$ disebut matriks adjoin dari matriks A. Contoh 1 Tentukan invers matriks dari $mathbf{A}=begin{pmatrix} 1 &-2 &1 \ 1 &3 &2 \ 0 &-3 &-1 end{pmatrix}$ Jawab Apabila kita melihat matriks diatas, berdasarkan sifat determinan maka determinan dari matriks A0. Pertama-tama kita mencari nilai dari detA, maka akan diperoleh detA = -2. Kemudian kita cari matriks kofaktor dari matriks A , sehingga akan diperoleh matriks kofaktor seperti berikut. $begin{pmatrix} 3 &1 &-3 \ -5 &-1 &3 \ -7 &-1 &5 end{pmatrix}$ dengan demikian invers matriks A adalah Contoh 2 Tentukan invers matriks berikut. $mathbf{A}=begin{pmatrix} 1 &2 \ 3 &4 end{pmatrix}$ Jawab Karena matriks A0 , selanjutnya kita cari nilai determinan dari matriks A, sehingga diperoleh detA = 4 – 6 = -2. Untuk menentukan invers matriks A dapat menggunakan Metode Matriks Adjoin. Matriks adjoin dari matriks A adalah $mathbf{C}^{T}=begin{pmatrix} 4 &-2 \ -3 &1 end{pmatrix}$ dengan demikian invers matriks A adalah Contoh 3 Tentukan invers matriks berikut. $mathbf{A}=begin{pmatrix} a &b \ c &d end{pmatrix}$ dengan ad–cb 0. Jawab Perhatikan detA = ad – bc [tidak nol], sehingga untuk menentukan invers matriks A dapat menggunakan Metode Matriks Adjoin. Kofaktor dari elemen-elemen matrika A adalah $alpha _{11}=-1^{2}begin{vmatrix} d end{vmatrix}=d ;alpha _{12}=-1^{3}begin{vmatrix} c end{vmatrix}=-c ;$ $alpha _{21}=-1^{3}begin{vmatrix} b end{vmatrix}=-b;alpha _{22}=-1^{4}begin{vmatrix} a end{vmatrix}=a$ sehingga matriks kofaktor dari A adalah $mathbf{C}=begin{pmatrix} d &-c \ -b &a end{pmatrix}.$ Matriks adjoin dari matriks A adalah $mathbf{C}^{T}=begin{pmatrix} d &-b \ -c &a end{pmatrix}.$ Dengan demikian invers matriks A adalah $mathbf{A}^{-1}=1/ad-bcbegin{pmatrix} d &-b \ -c &a end{pmatrix}$ Contoh 4 Tentukan matriks T sedemikian sehingga TA = B, bila $mathbf{A}=begin{pmatrix} 3 &1 \ -2 &-1 end{pmatrix};mathbf{B}=begin{pmatrix} 6 &8 \ 11 &-4 end{pmatrix}$ Jawab Untuk menentukan matriks T dari persamaan TA = B, maka kalikan [dari sebelah kanan] kedua rumus itu dengan matriks $mathbf{A}^{-1}$, sehingga diperoleh $mathbf{T}mathbf{A}mathbf{A}^{-1}=mathbf{B}mathbf{A}^{-1}$ Karena $mathbf{A}mathbf{A}^{-1}=mathbf{I}$, maka $mathbf{T}mathbf{I}=mathbf{B}mathbf{A}^{-1} rightarrow mathbf{T}=mathbf{B}mathbf{A}^{-1}$ Karena, $mathbf{A}^{-1}=1/-3-2begin{pmatrix} -1 &-1 \ 2 &3 end{pmatrix}$ $=begin{pmatrix} 1 &1 \ -2 &-3 end{pmatrix}$ maka $mathbf{T}=begin{pmatrix} 6 &8 \ 11 &-4 end{pmatrix}begin{pmatrix} 1 &1 \ -2 &-3 end{pmatrix}$ $=begin{pmatrix} -10 & -18\ 19&23 end{pmatrix}$ sheetmath
ALJABARInvers matriks M= (3 5 2 4) adalah M^ (-1) =. Invers Matriks ordo 2x2 Matriks ALJABAR Matematika Cek video lainnya Teks video Sukses nggak pernah instan. Latihan topik lain, yuk! Matematika Fisika Kimia
Saber calcular uma matriz inversa e o seu determinante é uma habilidade que pode ser cobrada nas questões mais difíceis de Matemática. Por isso, é importante entender as condições de existência de uma matriz inversa e suas propriedades! O tópico de matriz inversa costuma ser o último abordado quando falamos de matrizes no contexto do Enem e vestibulares. Vem com a gente se aprofundar no estudo desse assunto, aprender as condições de existência, como calcular e quais suas propriedades. O que é uma matriz inversa Quando trabalhamos com matrizes temos diversas restrições em relação às operações com matrizes que podemos ou não realizar. Sabemos, por exemplo, que não podemos dividir matrizes. Porém, uma propriedade presente em algumas matrizes é a existência da matriz inversa. Assim como nos números reais, quando multiplicamos uma matriz A por sua inversa temos como resultado uma unidade, que no nosso caso é a matriz identidade I. Representamos a inversa da matriz A como A-1, dessa forma, temos Condições de existência Antes de aprendermos a fazer seu cálculo, precisamos saber verificar se a matriz inversa existe. Para isso temos duas condições necessárias Somente matrizes quadradas, aquelas em número de linhas e colunas são o mesmo, possuem inversa; Somente matrizes com determinantes diferentes de zero possuem matriz inversa. Como calcular a matriz inversa Agora que já sabemos quando a matriz inversa existe, vamos aprender a calculá-la. Preste atenção no exemplo a seguir e veja como calcular a inversa de uma matriz 2×2. Exemplo calcule a inversa da matriz A. Precisamos primeiro verificar se a matriz A possui uma inversa. Para isso, precisamos checar se A é quadrada e se o determinante A é diferente de 0. Vemos facilmente que A é quadrada de ordem 2, já que possui duas colunas e duas linhas. Ainda podemos calcular o determinante da seguinte maneira Como o determinante de A é diferente de 0 e A é uma matriz quadrada, sabemos que ela possui inversa. Agora precisamos usar a definição de inversa para conseguir relacionar a matriz A com a sua inversa. Para isso você pode usar a definição que vimos anteriormente como uma fórmula. Substituindo a matriz A obtemos Observe que depois da igualdade substituímos I pela a matriz identidade de uma matriz quadrada de ordem dois. Nesse tipo de matriz, a sua diagonal principal é composta por números 1, enquanto que os demais elementos são 0. Já para a matriz A-1 podemos usar uma matriz composta por incógnitas, as quais vamos calcular para formarem nosso resultado, da seguinte maneira Lembre-se que para realizar a multiplicação de uma matriz pela outra você deve fazer a soma dos produtos de cada elemento da primeira linha de uma das matrizes pelos elementos da primeira coluna da outra. Desenvolvendo essa multiplicação de matrizes chegamos em Agora, quando dizemos que duas matrizes são iguais estamos afirmando que os seus elementos são iguais, ou seja Precisamos calcular quem é a matriz A-1, ou seja, calcular os valores de a, b, c e d. Para isso, vamos separar as igualdades em anteriores sistemas, de forma que as duas duplas de variáveis fiquem no mesmo sistema Note que as colunas da matriz definem um sistema. Resolvendo os sistemas chegamos ao seguinte resultado Por fim, podemos substituir os resultados encontrados para construir nossa matriz A-1 E essa matriz é a inversa de A, como prova real você pode multiplicar A por A-1 e conferir se o resultado é a matriz identidade. Propriedades da matriz inversa As matrizes inversas possuem algumas propriedades que podem te ajudar muito na hora de resolver uma prova, confira elas A inversa de uma matriz é única; A inversa da matriz inversa de A é a própria matriz A, isto é A-1-1 = A; A inversa da matriz transposta de A é igual à transposta da matriz inversa de A, ou seja At-1 = A-1t; Se a matriz A admite inversa, o seu determinante é igual o inverso do determinante de A deta-1 = detA-1; Se A e B são matrizes de mesma ordem inversíveis então a inversa de A vezes B vai ser igual a inversa de B vezes a inversa de A, portanto AB-1 = B-1 A-1 . Exercícios resolvidos 1 Como calcular uma matriz inversa 3×3 Calcule se existirem detB e detB-1 Nesse exercício precisamos calcular o determinante de duas matrizes, vamos começar com a matriz B, já que já a conhecemos detB = + + – + + detB = 4 + 1 – 4 = 1 Como já calculamos o determinante de B, podemos verificar se B admite inversa, como o determinante de B é diferente de zero, B-1 existe. Para calcular o determinante de B-1 vamos primeiro calcular quem é essa matriz. Começamos da mesma forma, montando a igualdade de matrizes provinda da definição Desenvolvendo essa igualdade obtemos Agora, organizamos ela em três sistemas Resolvendo os três sistemas obtemos Por fim, calculando o determinante de B-1 temos detB-1 = 0 – 3- 4 – 0 – 4 – 4 = -7 + 8 = 1 Note que calcular a inversa de uma matriz de ordem três envolve muito mais contas que calcular a inversa de uma matriz de ordem dois. Isso pode tomar muito tempo de suas provas, por isso, é importante saber utilizar as propriedades. Note ainda que neste exercício você pode usar a propriedade 4 para obter facilmente o determinante da inversa detB-1 = detB-1 detB-1 = 1-1 detB-1 = 1 Muito mais fácil, né? Mas, fique atentoa! É importante notar que para calcular o determinante de uma inversa você deve verificar se ela existe! 2 Como calcular o determinante da matriz inversa Sejam as matrizes Calcule, se existir, o determinante de D-1C-1. Vamos utilizar o mesmo método dos exemplos anteriores para calcular D-1C-1. Se você ainda não se acostumou, vamos rever o passo a passo começando pela matriz C Passo 1 verificar se a inversa de C existe usando o determinante detC = 1 . 6 0 -2 . 6 detC = 6 + 12 = 18 Passo 2 construir a “equação” da matriz inversa com a matriz fornecida no enunciado e uma matriz de incógnitas Passo 3 fazer a multiplicação de matrizes. Passo 4 montar e resolver os sistemas. Passo 5 montar a matriz inversa com os resultados colhidos. Fazemos o mesmo para a matriz D detD = 3 . 2 – 4 . 1 detD = 6 – 4 = 2 Passo 2 Passo 3 Passo 4 Passo 5 Agora que temos as inversas podemos calcular o produto D-1C-1 Por fim, podemos calcular o determinante pedido pelo exercício Depois de muito esforço conseguimos o resultado! Mas será que tem uma forma mais fácil? Da mesma forma que o exemplo anterior, podemos usar das propriedades para facilitar a resolução do problema. Dessa vez, vamos usar as propriedades 4 e 5. Lembre-se que podemos usar a propriedade 4 para facilmente calcular o determinante de matrizes inversas. Para isso calculamos o determinante da matriz que invertemos. Mas qual será a matriz a qual a inversa é D-1C-1? Em um primeiro momento você pode pensar que é a matriz DC. Porém, essa resposta estaria errada, já que pela propriedade 5 sabemos que a inversa de DC é a matriz DC-1 = C-1D-1. Da mesma forma, conseguimos concluir que a matriz CD é a que procuramos, já que CD-1 = D-1C-1. Agora, como sabemos pela propriedade 4 que detCD-1 = detD-1C-1. Com isso em mente, conseguimos reduzir a resolução a uma multiplicação de matrizes e um cálculo de determinante, veja bem Calculando CD O seu determinante detCD = 1 . 36 – 0 . 24 detCD = 36 – 0 = 36 Como o inverso do determinante vai ser o determinante da inversa, temos A mesma resposta com muito menos procedimentos! Viu como é importante aprender a usar as propriedades? Videoaula Agora, assista esse vídeo do canal “Equaciona” com o professor Paulo Pereira e corra para praticar com os exercícios logo depois do vídeo. Exercícios sobre matriz inversa Questão 1 UEL PR/2010 Se A é uma matriz quadrada 2 × 2 de determinante 10. Se B = -2 . A e C = 3 . B-1, onde B-1 é a matriz inversa de B, então o determinante de C é a -60 b -3/20 c -20/3 d 9/40 e 40/9 Questão 2 UNICAMP Considere a matriz A dada Onde a e b são números reais. Se A = A² e A é invertível, então a a=1 e b=1 b a=1 e b=0 c a=0 e b=0 d a=0 e b=1 Questão 3 FUVEST Considere a matriz em que a é um número real. Sabendo que A admite inversa A–1 cuja primeira coluna é a soma dos elementos da diagonal principal de A–1 é igual a a 5 b 6 c 7 d 8 e 9 Gabarito D B A Sobre oa autora Essa aula foi preparada pelo professor Inácio Ávila. Inácio Ávila é graduando em matemática-licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina. Compartilhe
. 363 247 412 386 148 13 125 139
invers dari matriks m adalah m 1 adalah
